Die Fläche ist die Ordnung, sichtbar geworden
Ein Kristall ist ein Festkörper, dessen Bausteine — Atome, Ionen oder Moleküle — sich in einem regelmäßig wiederholenden, dreidimensionalen Muster anordnen: dem Gitter. Die kleinste sich wiederholende Einheit heißt Elementarzelle.
Wächst ein Kristall, lagern sich Bausteine aus Schmelze, Lösung oder Dampf an einen Keim an und setzen das Gittermuster nach außen fort. Treibende Kraft in der Lösung ist die Übersättigung: Ein Keim unter einer kritischen Größe löst sich wieder auf, darüber wächst er weiter. Bei niedriger Übersättigung entstehen wenige große, bei hoher viele kleine Kristalle.
Der entscheidende Gedanke: Die ebenen Flächen — die Facetten — sind der sichtbare Ausdruck der unsichtbaren Gitterordnung. Die äußere Form spiegelt die innere Periodizität. Genau hier liegt die formale Brücke zum Kubismus: ein Körper, der seine Struktur in Facetten nach außen zeigt — mehrere Seiten zugleich.
Drehen heißt: die vielen Seiten sehen
Der gedrehte Kristall oben ist die These dieser Seite. Beim Drehen erscheinen mehrere Facetten zugleich — die kubistische Grundidee, nur als echter Kristall. Und genau so verrät der Körper seine Symmetrie. Ziehen Sie ihn mit der Maus; scrollen Sie, und er fächert kurz kubistisch in seine Facetten auf.
Immer derselbe Winkel
Egal wie verschieden zwei Kristalle desselben Stoffes in Größe, Gestalt und Wuchs aussehen — die Winkel zwischen entsprechenden Flächen sind immer gleich. Das ist das erste Gesetz der Kristallographie.
Zwei Quarzquerschnitte, verschieden gewachsen — und doch misst das Goniometer beide Male α ≈ 120°. Steno erkannte 1669, was Romé de l'Isle 1772 vermaß.
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1669
Nicolaus Steno
beobachtet am Quarz: Die Winkel zwischen entsprechenden Flächen sind bei Kristallen desselben Stoffes immer gleich. Das Gesetz der Winkelkonstanz.
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1772–1783
Jean-Baptiste Romé de l'Isle
bestätigt und verallgemeinert es mit dem Kontaktgoniometer: Die Winkel sind charakteristisch für den Stoff.
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ab 1784
René Just Haüy
der „Vater der modernen Kristallographie" liefert die Erklärung: Kristalle aus winzigen, identischen Bausteinen — molécules intégrantes, dem Vorläufer der Elementarzelle. Daraus folgen die konstanten Winkel und ganzzahligen Flächenverhältnisse (Gesetz der rationalen Indizes).
Haüys gestapelte Bausteine
Ein originales Birnenholz-Modell zeigt Haüys Idee zum Anfassen: Der Kristall ist ein Stapel identischer kleiner Zellen — und die schräge Außenfläche entsteht treppenartig aus ihrer Schichtung.
Foto: Teylers Museum, Haarlem · CC BY-SA 3.0 nl · via Wikimedia Commons
Sieben Systeme, vierzehn Gitter
Alle Kristalle der Welt ordnen sich in nur sieben Gittersysteme. Kombiniert mit den möglichen Zentrierungen bleiben genau vierzehn verschiedene Raumgitter — die Bravais-Gitter. Aus ihnen wächst die ganze Kaskade.
Die sieben Systeme als kubistische Facetten-Galerie — wählen Sie eines aus (Klick oder Tastatur):
Die 14 Bravais-Gitter
Auguste Bravais zeigte 1848, dass es im Raum genau vierzehn verschiedene Gittertypen gibt. Nicht jede Kombination aus System und Zentrierung ist einzigartig oder symmetrisch möglich — deshalb bleiben aus mehr Kandidaten exakt 14 übrig.
Tafel: Davis Chow Jun Onn · CC BY-SA 4.0 · via Wikimedia Commons
Und die verbotene Fünf
In einem periodischen Gitter sind nur Drehachsen der Ordnung 1, 2, 3, 4 und 6 erlaubt. Eine fünfzählige Drehsymmetrie lässt sich mit lückenloser, periodischer Raumfüllung nicht vereinbaren — wie sich die Ebene mit regelmäßigen Fünfecken nicht lückenlos parkettieren lässt. Probieren Sie es aus.
Drehachse anlegen:
Drei-, vier- und sechszählige Kacheln rasten sauber ineinander. Die fünf verweigert sich sichtbar: Zwischen den Fünfecken bleiben Lücken — das Gitter zerreißt. Deshalb war die fünfzählige Symmetrie in der Kristallographie ein Dogma: unmöglich.
Der sechseckige Schnee
„Warum fällt der Schnee immer sechseckig?"
1611 schrieb Johannes Kepler die kleine Schrift Strena seu de nive sexangula — „Vom sechseckigen Schnee" — als Neujahrsgeschenk für seinen Förderer, Kaiser Rudolf II. Es ist die erste wissenschaftliche Abhandlung über Schneekristalle. Kepler vermutete den Grund in der dichtesten Packung kleinster Wasser-Bausteine — die erste gedruckte Beobachtung, dass aus dichter Kugelpackung regelmäßige Formen entstehen (sie enthält die berühmte Kepler-Vermutung).
Diagramm aus Keplers Strena seu de nive sexangula (1611) — die dichteste Kugelpackung. Public Domain · via Wikimedia Commons.
Sechs Arme, jeder die exakte Spiegelung des anderen: sechszählige Symmetrie. Die Formenvielfalt entsteht durch wechselnde Temperatur und Luftfeuchte beim Wachstum — die Sechszähligkeit bleibt.
Die Atome sichtbar machen
Wie beweist man, dass ein Atomgitter wirklich periodisch ist? Indem man Wellen daran beugt, deren Länge zu den Atomabständen passt.
Stilisierte, prozedurale Darstellung eines Laue-Beugungsmusters — kein historisches Originalfoto.
Max von Laue schlug 1912 vor, Röntgenstrahlen durch einen Kristall zu schicken — das regelmäßige Atomgitter sollte wie ein Beugungsgitter wirken. Walter Friedrich und Paul Knipping führten den Versuch durch und erhielten ein regelmäßiges Punktmuster auf der Fotoplatte. Das bewies beides zugleich: Röntgenstrahlen sind Wellen, und Kristalle haben ein periodisches Atomgitter. Einstein nannte es „eine der schönsten Entdeckungen der Physik". → Nobelpreis Physik 1914.
n λ = 2 d · sin θ
William Henry und William Lawrence Bragg, Vater und Sohn, formulierten das Bragg'sche Gesetz, das die Beugung mit den Netzebenen-Abständen verknüpft, und begründeten die Röntgenstrukturanalyse. → gemeinsamer Nobelpreis Physik 1915; W. L. Bragg war mit 25 Jahren einer der jüngsten Preisträger überhaupt.
Quasikristalle — eine Seite mehr
Die Geometrie schien geschlossen. Sieben Systeme, vierzehn Gitter, 230 Raumgruppen, die fünf verboten. Und dann fand jemand eine Ordnung, die das alles brach.
Aperiodische, fünfzählig symmetrische Parkettierung (prozedural) — geordnet, aber nicht periodisch.
Dan Shechtman beobachtete 1982 (veröffentlicht 1984) in einer Aluminium-Mangan-Legierung ein scharfes Beugungsbild mit ikosaedrischer, fünfzähliger Symmetrie — geordnet, aber nicht periodisch. Das galt als unmöglich und wurde heftig angefeindet.
„Es gibt keine Quasikristalle, nur Quasi-Wissenschaftler."— sinngemäß Linus Pauling zugeschrieben
1992 änderte die Internationale Union für Kristallographie die Definition des Kristalls selbst: Maßgeblich ist seither ein diskretes Beugungsbild, nicht mehr strikte Periodizität. 2011 erhielt Shechtman den Nobelpreis für Chemie „für die Entdeckung der Quasikristalle". Die verbotene Fünf war doch erlaubt — sie hatte nur ein Gitter ohne Wiederholung.
Eine Form, viele Seiten.
Jede Facette eine Perspektive, jede Perspektive Ausdruck derselben inneren Ordnung. Genau das ist der Kristall — und genau das war die kubistische Idee, lange bevor man die Atome sah.
Quellen zum Anfassen
nach R. J. Haüy · CC BY-SA 4.0 · Wikimedia Commons
Public Domain · Wikimedia Commons
Teylers Museum, Haarlem · CC BY-SA 3.0 nl